Решим задачу. У нас есть два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

Получаем,

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

Определение наибольшего общего делителя

• Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка два числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Иногда для сокращения записи используют аббревиатуру НОД.

Некоторые пары чисел имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. Например, числа 24 и 35. Имеют НОД =1.

Как найти наибольший общий делитель

Для того чтобы найти наибольший общий делитель не обязательно выписывать все делители данных чисел.

Можно поступить иначе. Сначала разложить на простые множители оба числа.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Это правило можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

Общая схема нахождения наибольшего общего делителя

• 1. Разложить числа на простые множители.
• 2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.
• 3. Посчитать произведение оставшихся множителей.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) двух чисел воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:

Введите числа: и
НОК:
НОД:

Определить

Просто введите числа и получите результат.

Как найти НОК двух чисел

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких чисел – это самое маленькое число, которое можно разделить на каждое из этих чисел без остатка.

Для того чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел можно воспользоваться следующим алгоритмом (5 класс):

1. Оба числа (сначала наибольшее число).
2. Сравним множители большего числа с множителями меньшего. Выделим все множители меньшего числа, которых нет у большего.
3. Добавим выделенные множители меньшего числа к множителям большего.
4. Найдём НОК, перемножив ряд множителей, полученных в пункте 3.

Пример

Для примера определим НОК чисел 8 и 22 .

1) Раскладываем на простые множители:

2) Выделим все множители 8-ми, которых нет у 22-х:

8 = 2⋅2 ⋅2

3) Добавим выделенные множители 8-ми к множителям 22-х:

НОК (8; 22) = 2 · 11 · 2 · 2

4) Вычисляем НОК:

НОК (8; 22) = 2 · 11 · 2 · 2 = 88

Как найти НОД двух чисел

Наибольший общий делитель (НОД) двух или нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа можно разделить без остатка.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, для начала необходимо разложить их на простые множители. Затем нужно выделить общие множители, которые имеются и у первого числа и у второго. Перемножаем их – это и будет НОД. Чтобы лучше понять алгоритм рассмотрим пример:

Пример

Для примера определим НОД чисел 20 и 30 .

20 = 2 ⋅2⋅5

30 = 2 ⋅3⋅5

НОД(20,30) = 2⋅5 = 10

Числа, которые делятся на 10, мы называем кратными 10. Например, 30 или 50 кратны 10. 28 кратно 14. Числа, которые делятся одновременно и на 10, и на 14, естественно называть общими кратными 10 и 14.

Общих кратных мы можем найти сколько угодно. Например, 140, 280 и т. д.

Естественный вопрос: как найти самое меньшее из общих кратных, наименьшее общее кратное?

Из найденных кратных для 10 и 14 пока наименьшее - это 140. Но является ли оно наименьшим общим кратным?

Разложим наши числа на множители:

Сконструируем такое число, которое делится на 10 и на 14. Чтобы делиться на 10, нужно иметь множители 2 и 5. Чтобы делиться на 14, нужно иметь множители 2 и 7. Но 2 уже есть, осталось добавить 7. Полученное число 70 - это общее кратное для 10 и 14. При этом не получится построить число меньше этого, чтобы оно тоже было общим кратным.

Значит, это и есть наименьшее общее кратное . Для него мы используем обозначение НОК.

Найдем НОД и НОК для чисел 182 и 70.

Самостоятельно вычислите:

3.

Проверяем:

Чтобы понять, что такое НОД и НОК, не обойтись без разложения на множители. Но, когда мы уже поняли, что это такое, уже не обязательно каждый раз раскладывать на множители.

Например:

Вы можете легко убедиться, что для двух чисел, где одно делится на другое, меньшее является их НОДом, а большее - НОКом. Попробуйте сами объяснить, почему это так.

Длина шага папы - 70 см, а у маленькой дочери - 15 см. Они начинают идти, поставив ноги на одну отметку. Какое расстояние они пройдут, чтобы их ноги опять встали вровень?

Папа и дочь начинают движение. Сначала ноги находятся на одной отметке. Пройдя несколько шагов у них ноги снова встали на одну отметку. Значит, и у папы, и дочери получилось целое количество шагов до этой отметки. Значит, расстояние до нее должно делиться на длину шага и папы, и дочери.

То есть мы должны найти :

То есть это случится через 210 см = 2 м 10 см.

Нетрудно понять, что папа сделает 3 шага, а дочь - 14 (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Задача 1

У Пети в сети «ВКонтакте» 100 друзей, а у Вани - 200. Сколько всего друзей у Пети и Вани вместе, если общих друзей 30?

Ответ 300 - неверный, ведь у них могут быть общие друзья.

Решим эту задачу так. Изобразим множество всех друзей Пети кругом. Изобразим множество друзей Вани другим кругом, побольше.

Эти круги имеют общую часть. Там находятся общие друзья. Эта общая часть называется «пересечение» двух множеств. То есть множество общих друзей - это пересечение множеств друзей каждого.

Рис. 2. Круги множеств друзей

Если общих друзей 30, то слева 70 - это друзья только Петины, а 170 - только Ванины (см. Рис. 2).

Сколько всего?

Всё большое множество, состоящее из двух кругов, называется объединением двух множеств.

На самом деле ВК сам решает за нас задачу пересечения двух множеств, он сразу указывает множество общих друзей, когда вы заходите на страничку другого человека.

Ситуация с НОДом и НОКом двух чисел очень похожа.

Задача 2

Рассмотрим два числа: 126 и 132.

Их простые множители изобразим в кругах (см. Рис. 3).

Рис. 3. Круги с простыми множителями

Пересечение множеств - это общие делители. Из них состоит НОД.

Объединение двух множеств дает нам НОК.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

3. Интернет-сайт «Школьный помощник» ()

Домашнее задание

1. В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй - 20 и третий - 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход?

2. Найдите НОК чисел:

3. Найдите простые множители наименьшего общего кратного чисел:

И , если: , , .

Наибольший общий делитель

Определение 2

Если натуральное число a делится на натуральное число $b$, то $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ называют кратным числа $b$.

Пусть $a$ и $b$-натуральные числа. Число $c$ называют общим делителем и для $a$ и для $b$.

Множество общих делителей чисел $a$ и $b$ конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем $a$. Значит,среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ и для его обозначения используют записи:

$НОД \ (a;b) \ или \ D \ (a;b)$

Чтобы найти наибольший общий делитель двух, чисел необходимо:

1. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=2\cdot 11=22$

Пример 2

Найти НОД одночленов $63$ и $81$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого:

Разложим числа на простые множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=3\cdot 3=9$

Найти НОД двух чисел можно и по-другому, используя множество делителей чисел.

Пример 3

Найти НОД чисел $48$ и $60$.

Решение:

Найдем множество делителей числа $48$: $\left\{{\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48}\right\}$

Теперь найдем множество делителей числа $60$:$\ \left\{{\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}\right\}$

Найдем пересечение этих множеств: $\left\{{\rm 1,2,3,4,6,12}\right\}$- данное множество будет определять множество общих делителей чисел $48$ и $60$. Наибольший элемент в данном множестве будет число $12$. Значит наибольший общий делитель чисел $48$ и $60$ будет $12$.

Определение НОК

Определение 3

Общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называется натуральное число, которое кратно и $a$ и $b$.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка.Например для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК$(a;b)$ или K$(a;b).$

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

1. Разложить числа на простые множители
2. Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Пример 4

Найти НОК чисел $99$ и $77$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

Разложить числа на простые множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Выписать множители, входящие в состав первого

добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Составление списков делителей чисел часто очень трудоемкое занятие. Существует способ нахождение НОД, называемый алгоритмом Евклида.

Утверждения, на которых основан алгоритм Евклида:

Если $a$ и $b$ --натуральные числа, причем $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$

Если $a$ и $b$ --натуральные числа, такие что $b

Пользуясь $D(a;b)= D(a-b;b)$, можно последовательно уменьшать рассматриваемые числа до тех пор, пока не дойдем до такой пары чисел, что одно из них делится на другое. Тогда меньшее из этих чисел и будет искомым наибольшим общим делителем для чисел $a$ и $b$.

Свойства НОД и НОК

1. Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ делится на K$(a;b)$
2. Если $a\vdots b$ , то К$(a;b)=a$

Если К$(a;b)=k$ и $m$-натуральное число, то К$(am;bm)=km$

Если $d$-общий делитель для $a$ и $b$,то К($\frac{a}{d};\frac{b}{d}$)=$\ \frac{k}{d}$

Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$ ,то $\frac{ab}{c}$ - общее кратное чисел $a$ и $b$

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Любой общийй делитель чисел $a$ и $b$ является делителем числа $D(a;b)$

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например :

Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным .

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12. Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b .

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например , числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 - тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК) .

НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

Коммутативность:

Ассоциативность:

В частности, если и — взаимно-простые числа , то:

Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n . Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n ).

Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

Так, функция Чебышёва . А также:

Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n) .

Что следует из закона распределения простых чисел.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

НОК(a, b ) можно вычислить несколькими способами:

1. Если известен наибольший общий делитель , можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где p 1 ,...,p k — различные простые числа, а d 1 ,...,d k и e 1 ,...,e k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).

Тогда НОК (a ,b ) вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители , входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b , причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.

Пример :

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

— разложить числа на простые множители;

— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

Простые множители числа 28 (2, 2, 7) дополнили множителем 3 (числа 21), полученное произведение (84) будет наименьшим числом, которое делится на 21 и 28 .

Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300...), которому кратны все заданные числа.

Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

Правило . Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

Еще один вариант:

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2) записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

Пример . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Решение . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

НОК = 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 = 15120.